Как правильно: «засыплет» или «засыпет»?

Корректны оба варианта: засыплет, засыпет (первый некоторые словари считают предпочтительным).
В глагольных парах типа сыплет — сыпет, треплет — трепет, каплет — капает буква л не является самостоятельной морфемой, это часть корня. Ее не бывает в инфинитиве (сыпать, трепать, капать), но для других форм единого правила сформулировать нельзя:

• Первое лицо: сыплю, треплю, но капаю.
• Повелительное наклонение: сыпь, капай, но трепли, трепи.
• Корень может влиять на флексию: сыплют — сыпят, треплют — трепят, каплет — капает.
• Корень может влиять на смысл: падает каплями — капает, каплет; медленно льет — толькокапает.

Во всех случаях, если есть сомнения, лучше обращаться к словарям. Над нами не каплет.
Ссылка здесь